Istid

Vad nu då – en hel måndag förflöt utan att jag publicerade en endaste liten kluring!?

Just det. Så är det. Jag blir tyvärr tvungen att lägga den här bloggen på is ett tag, helt enkelt därför att jag har en massa andra åtaganden som gör att jag inte hinner med bloggandet just nu. Framför allt hinner jag inte sitta och värka fram kluringar.

Hur länge kommer den här istiden att vara då? Tja, åtminstone fram till augusti gissar jag. Sedan får vi se vad som händer. Inom bloggvärlden är det ju en mer eller mindre etablerad sanning att när en blogg har lagts på is, så kommer den aldrig tillbaka igen.

Kanske blir det så. Kanske inte. Svårt att säga i dagsläget. Oavsett om jag återkommer med nya inlägg eller inte, så kommer bloggen att ligga kvar, för er som vill t.ex. vill ladda ner GeoGebra-exempel, lära er polynomdivision, eller testa gamla kluringar.

Så: Hej då för den här gången! Min förhoppning är att vi ses igen!

Veckans kluring v. 17 – Byggklossarna

Albin (2 år) har fått ett paket med nio stycken kubiska byggklossar, alla i olika storlekar. Den största klossen (den blåfärgade nedre vänstra i figuren) är 1×1×1 dm, och då kan t.o.m. Albin räkna ut att den har volymen 1 dm³.

Albin har även noterat att förhållandet mellan sidlängderna på ”två på varandra följande klossar” alltid är lika stort. Förhållandet mellan den största klossens sidlängd och den näst största klossens sidlängd är alltså samma som förhållandet mellan den näst största och den tredje största klossens sidlängder och så vidare.

Slutligen har Albin noterat att om han staplar de tre största klossarna på varandra, och de sex minsta klossarna på varandra (enligt figuren ovan), så blir de två tornen exakt lika höga!

Frågan är nu: Vilken volym har den minsta klossen? Uträkning måste redovisas (åtminstone i stora drag)!

Skicka ditt svar som en kommentar senast söndag 29 april!

Veckans kluring v. 16 – Bröllopsmiddagen

Nu är påsken över, och vi ser fram emot pingsten, hänryckningens tid, årets stora bröllopshögtid. Veckans kluring handlar om en bröllopsmiddag.

Gästerna på middagen fick sitta runt runda bord, 10 personer vid varje. Dessvärre (?) var det ett visst överskott av kvinnor på bröllopet, så man kunde inte följa etiketten och placera varannan-dam-varannan-herre.

Vid bordet på bilden kommer 7 kvinnor och 3 män att sitta. Om vi antar att alla 10 placerar sig slumpmässigt kring bordet (utan hänsyn till etikett), hur stor är då risken att (minst) två av herrarna hamnar intill varandra?

Skicka ditt svar som en kommentar senast söndag 22 april!

Tvåårskalas!

Bloggen passade på att fylla två år under påsken! Det firas med hemmagjord påsktårta!

Veckans kluring v. 14 – Den liggande snögubben

I figuren nedan syns tre cirklar. Deras respektive medelpunkter (som alla ligger på en och samma linje) kallas A, B och C. Det är lika långt mellan A och B, som mellan B och C. Alla tre cirklarna har radien 1.

Cirklarna A och B (vi döper för enkelhets skull cirklarna efter deras medelpunkter) skär varandra i två punkter, P och Q. Cirklarna B och C skär varandra i de två punkterna R och S. (Däremot skär inte cirklarna A och C varandra.)

En rektangel (blåfärgad) har sina hörn i punkterna P, Q, R och S. Rektangeln har arean 1.

Hur långt är det mellan punkterna A och B? Exakt svar krävs!

En ganska svår kluring, och med anledning av detta samt det faktum att det är påskdagen nästa söndag, följt av påsklov, så blir det 2 veckors betänketid denna gång! Skicka alltså ditt svar som en kommentar senast söndag 15 april!

Veckans kluring v. 13 – Korten på bordet! (eller utanför)

Denna veckas kluring rör sig i gränslandet mellan ämnena matematik och fysik. Det handlar om att lägga vanliga spelkort så långt ut på en bordskant som möjligt utan att de ramlar ner.

På bilden nedan syns två spelkort på en bordskant. Notera att de är placerade så att det översta kortet till största delen ligger utanför bordet. Med andra ord ligger kortets tyngdpunkt utanför bordet (fysiklärarna kanske vill kalla det masscentrum).

Betrakta nu bilden här nedan. Där har samtliga 52 kort i en kortlek placerats så att det översta kortet helt och hållet befinner sig utanför bordets kant.

Nu är frågan:

Vilket är det minsta antal spelkort vi behöver stapla på varandra för att det översta kortet skall befinna sig helt och hållet utanför bordskanten?

Regler (som känns ganska självklara, men ändå):
♠ Det är inte tillåtet att lägga kort över bordets hörn, bara över en (rak) kant.
♣ Korten måste staplas som på bilderna, varje kort skall alltså läggas på ett annat kort, och får bara ha ett kort närmast ovanpå sig.
♥ Korten skall läggas i samma rikting, de får alltså inte vridas 90 grader (eller något annat antal grader heller).
♦ Självklart får inga andra föremål än kort och bord blandas in (klister inberäknat).

Kort sagt: Det skall inte vara något lurt! Det är inte meningen att ni skall hitta ”slamkrypare”!

Skicka svaret som en kommentar senast söndag 1 april!

(Tips på slamkrypare mottages tacksamt, men utom tävlan!)

Glöm inte att ställa fram klockan!

Jag hade tänkt skriva ett långt och smaskigt inlägg om att det äntligen är dags att vrida fram klockan, men jag upptäckte att jag skrev ett likadant inlägg för precis ett år sedan, så jag gör det lätt för mig och länkar till det inlägget!

Veckans kluring v. 12 – Palindromtalet

Ett palindromtal är ett tal som är likadant oavsett om du läser det framlänges eller baklänges, som exempelvis talet 14641. Det finns bara ett palindromtal som har följande fyra egenskaper:

1. Talet har sju siffror

2. Summan av siffrorna är 41

3. Sista siffran är 3 gånger så stor som andra siffran

4. Mittensiffran är lika med tredje siffran minus sjätte siffran

Vilket palindromtal handlar det om?

Skicka svaret som en kommentar senast söndag 25 mars!

Glad pi-dag!

Idag π-rrar det lite extra i kroppen på oss mattelärare, och man känner sig π-skad att skriva ett spännande π-nfärskt inlägg på sin π-llemariska blogg. En π-na i sammanhanget är dock att bloggens typsnitt inte alls gör π-tecknet rättvisa, det saknas π-xlar i dess överliggare. Hoppas att alla äter π-zza och π-roger och att ni spelar π-ctionary, och sedan njuter av lite π-anomusik. Gå gärna ut i det vackra vädret och se till att ert π-gment blir lite brunare. Ni kan dock låta bli att π-nka i rabatterna, så skippa gärna π-lsnern. Se till att inte heller komma i närkontakt med π-stoler och π-rayor. Sitt inte inne och π-lla med mobilen, låt bli att trycka in π-nkoden helt enkelt. Ta hellre in en π-on, sätt den på en π-edestal, och betrakta dess π-stiller! Eller be en π-lot att flyga er till π-teå och åk skidor i π-sten!

Nu kommer ni inte att höra ett π-p mer från mig idag!

Veckans kluring v. 11 – Godisskålarna

Inuti de här fem silverskålarna ligger det godisbitar, sammanlagt 100 stycken.

I skål A och B ligger det sammanlagt 40 godisar.
I skål B och C ligger det sammanlagt 54 godisar.
I skål C och D ligger det sammanlagt 50 godisar.
I skål D och E ligger det sammanlagt 27 godisar.

Hur många godisbitar ligger det i varje skål?

Skicka ditt svar som en kommentar senast söndag 18 mars!

En femetta

Så här såg det ut på min cykeldator härom dagen, och naturligtvis förevigades detta historiska ögonblick med fem likadana siffror:

Värt att notera:

1. Jag brukar inte cykla i 0 km/h, utan hade stannat när jag tog detta foto. Det var dessutom på Göta Älvbron, och jag ville inte riskera att tappa mobilen i vattnet.
2. Nu har jag tillryggalagt ganska precis 1/9 av sträckan 100 000 km!

 

Veckans kluring v. 10 – Snittarna

Linda var medlem av en bokcirkel som turades om att träffas hemma hos varandra, och diskutera böcker som de alla läst. Denna vecka var det Lindas tur att vara värdinna. Hon bestämde sig för att servera små laxsnittar som tilltugg. Hon funderade på hur många hon skulle göra.

”Alla (inklusive jag själv) äter nog tre snittar var. Och så gör jag sju extra snittar, bara utifall.”

Sagt och gjort, Linda tillverkade det antal snittar hon bestämt sig för.

Några minuter före träffens början ringde Åsa och meddelade att hon tyvärr inte kunde komma, eftersom hennes buss hade kört i diket. Hon meddelade också att Pernilla och Anna, som satt på samma buss, förstås inte heller kunde komma.

”Nåja”, tänkte Linda, ”de där tre brukar ändå inte ha något intressant att bidra med. Vi har nog trevligare utan dem. Och så blir det ju fler snittar till var och en.”

Ja, nu kunde alla bokcirkeldeltagarna (inklusive Linda) få fem snittar var! Och sedan var fatet tomt!

Hur många personer skulle ha deltagit i bokcirkeln? Och hur många snittar gjorde Linda?

Skicka ditt svar som en kommentar senast söndag 11 mars!

Liggande stolen och polynomdivision

Numera finns det under rubriken ”Sidor” längst uppe i högerkolumnen, två sidor som handlar om Liggande stolen (divisionsalgoritmen, inte bloggen) i allmänhet och polynomdivision i synnerhet. Dessa sidor vänder sig i första hand till gymnasieelever som läser Matematik E, men aldrig har använt sig av Liggande stolen (vilket tyvärr verkar vara en förkrossande majoritet av eleverna).

Vem kläckte egentligen den obriljanta idén att Liggande stolen inte längre skall läras ut i grundskolan?

Nåväl, på dessa sidor visas ett par steg-för-steg-exempel på hur det går till att dividera tal respektive polynom med denna metod. Text- och bildkvalitén är tyvärr inte den snyggaste, men jag hoppas att det går att läsa.

Veckans kluring v. 9 – Att steka pannkakor

Att steka en cirkulär pannkaka i en cirkulär stekpanna innebär ju verkligen ett effektivt utnyttjande av stekpannans stekyta – hela 100% av pannan utnyttjas!

(Notera att den gråa ytan markerar stekpannans uppåtböjda kant, och alltså inte utgör själva stekytan!)

Om man däremot vill steka två lika stora cirkulära pannkakor i stekpannan samtidigt, så utnyttjas verkligen stekpannans yta dåligt – endast 50% av stekpannans yta täcks av pannkakor, eller vi kanske borde kalla dem plättar nu. Plättarnas radie är ju hälften så stor som stekpannans radie, varefter man lätt med cirkelns areaformel konstaterar att plättarnas totalyta är hälften av stekpannans yta:

(Återigen värt att påpeka att den grå ytan markerar stekpannans kant, helt ointressant i sammanhanget, medan den svarta ytan markerar själva stekytan i stekpannan – som alltså endast täcks till 50%.)

Antag nu att vi vill steka 3 lika stora cirkulära pannkakor/plättar i vår stekpanna. Vi gör dem så stora som möjligt, och placerar dem enligt figuren nedan.

Hur många procent av stekpannans yta utnyttjas nu?

Skicka ditt svar som en kommentar senast söndag 4 mars!

Lösning till förra veckans kluring

Ingen kom med någon fullständig lösning till förra veckans kluring. Här kommer lösningen som ett inlägg eftersom det inte blir så vackert med rottecken och bråk och grejer i kommentarer:

Veckans kluring v. 8 – Extrempunkten

Följande kluring funderade jag ut medan jag satt och rättade de nationella Matte C-proven för några veckor sedan. Kluringen är nog ganska svår, och har man inte läst Matte C är den nog näst intill omöjlig att lösa:

En viss tredjegradsfunktion har två av sina nollställen vid x = 0 och x = 6. Är det möjligt att denna funktion har en extrempunkt (maximi-, minimi- eller terrasspunkt) då x = 3?

Om ”nej”: Bevisa detta!

Om ”ja”: Ange en funktion med extrempunkt vid x = 3!

Skicka ditt svar som en kommentar senast söndag 26 februari!

Veckans kluring v. 6 – Vinglasen

Tre glas vin (vi kallar dem A, B och C) stod på ett bord. Det var olika mycket vin i alla tre glasen, sammanlagt var det 168 ml.

Eva hällde över 1/5 av innehållet i glas C till glas A. Sedan hällde hon över 1/8 av (det nya) innehållet i glas A till glas B. Efteråt var det lika mycket vin i alla de tre glasen.

Hur mycket vin var det i varje glas från början?

Vecka 7 är det sportlov i Göteborg, och då publiceras ingen kluring. Därför blir det dubbel betänketid denna gång! Posta ditt svar som en kommentar senast söndag 19 februari!

Mer om decimalutvecklingar

De flesta är nog alltför väl medvetna om vilken decimalutveckling man får när man försöker dividera med 3 och det inte går jämnt ut:

1/3 = 0,33333333333…
2/3 = 0,66666666666…

Förmodligen har man också lagt märke till den mycket regelbundna decimalutvecklingen då man räknar med niondelar:

1/9 = 0,11111111…
2/9 = 0,22222222…
3/9 = 0,33333333…
4/9 = 0,44444444…
och så vidare.

Kanske har man till och med lite koll på vad som händer då man dividerar med 11:

1/11 = 0,0909090909…
2/11 = 0,18181818181…
3/11 = 0,2727272727…
4/11 = 0,3636363636…
5/11 = 0,4545454545…
och så vidare.

Tumregeln då man dividerar ett litet tal med 11 är alltså att multiplicera täljaren med 9, och låta denna produkt upprepa sig i decimalutvecklingen. Titta på det sista exemplet ovan, 5×9 = 45, alltså blir decimalutvecklingen 0,454545…

Men när vi skall dividera med andra tal än 3, 9 och 11 blir det svårare (förutom de nämnare som ger ändliga decimalutvecklingar: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 osv, se förra inlägget om decimalutvecklingar).

Hur är det egentligen när vi dividerar med 7? Slår vi divisionen 1/7 på en vanlig miniräknare, så får vi svaret 0,142857142…

Svårt att se något mönster där, eller hur? Vi prövar med 2/7 = 0,285714285…

Fortfarande kanske ingen direkt aha-upplevelse. Vi knappar in 3/7 = 0,428571428…

Möjligtvis börjar vi ana ett samband här. Det är samma siffror i samma ordning som upprepar sig hela tiden i alla de tre ovanstående bråken. Tydligen är det så att när vi dividerar med 7, så kommer decimalutvecklingen att bli 1 – 4 – 2 – 8 – 5 – 7 – 1 – 4 – 2 – 8 – 5 – 7 – 1 – 4 – 2 -…, det enda som skiljer sig åt är vilken den första decimalen blir!

Detta kanske bättre illustreras med ett ”lyckohjul”:

Varje gång man dividerar med 7, kan man alltså komma in ”var som helst” i detta lyckohjul, därefter är det bara att läsa decimalerna medsols. Detta fungerar naturligtvis även om täljaren är större än 7, vi har exempelvis att 12/7 = 1,714285 714285 714285…

Det är inte fel att försöka lära sig denna sex-siffrors-”ramsa” utantill (inte svårare än att lära sig ett telefonnummer!), för att på det sättet kunna ”känna igen” sjundedelar då man ser decimaler på miniräknaren!

(Notera dock att vi får samma decimalutveckling om vi dividerar med exempelvis 14, 35, 70 eller något annat tal som kan skrivas på formen 7·a, där a bara har primfaktorerna 2 och 5)

Finns det några andra decimalutvecklingar som är lätta att känna igen? Nja, tyvärr är det lite tunnsått på den fronten. Men ett intressant fenomen dyker upp om man dividerar med 13:

Grupp 1:

1/13 = 0,076923 076239…
3/13 = 0,230769 230769…
4/13 = 0,307692 307692…
9/13 = 0,692307 692307…
10/13 = 0,769230 769230…
12/13 = 0,923076 923076…

Grupp 2:

2/13 = 0,153846 153846…
5/13 = 0,384615 384615…
6/13 = 0,461538 461538…
7/13 = 0,538461 538461…
8/13 = 0,615384 615384…
11/13 = 0,846153 846153…

Vi får alltså två ”separata” lyckohjul! Beroende på vilket tal du försöker dividera med 13, så är det 50% chans att du hamnar i ena ”decimalhjulet”, och 50% chans att du hamnar i andra ”decimalhjulet”!

Veckans kluring v. 5 – Den färgglada kvadraten

Figuren föreställer en kvadrat med arean 49 m². Den har delats in i fyra olika stora rektanglar och en (grå) kvadrat.

Om den röda rektangeln har omkretsen 16 m, hur stor omkrets har då den gröna rektangeln? (Uppgiften kan inte lösas genom mätning i figuren!)

Skicka ditt svar som en kommentar senast söndag 5 februari!

Om bråk och decimalutvecklingar

Betrakta talet 0,99999999…..

Det måste vara ett tal som ligger väldigt nära 1, eller hur? Faktum är att det inte bara ligger nära 1, talet är faktiskt exakt lika med 1!

Hur hänger det ihop? Frågan kommer att få sitt svar lite längre fram!

Vi kan börja med att konstatera att det ofta är viktigt att kunna konvertera tal från bråkform till decimalform, och vice versa. Ibland är det inget som helst problem:

1/4 = 0,25
1/20 = 0,05
97/250 = 0,388

Alla de tre exemplen har gemensamt att bråkens nämnare bara består av primfaktorerna 2 och 5. Alla bråk vars nämnare består av primfaktorerna 2 och 5 ger ändliga decimalutvecklingar, vilket brukar vara väldigt trevligt, eftersom man då kan svara i decimalform, men ändå exakt.

Sedan har vi de klassiska frustrerande exemplen som fyller miniräknarfönstret med en massa decimaler, och gör att man inte kan svara i exakt decimalform:

1/3 = 0,3333333…
7/11 = 0,63 63 63 63 63…
4/7 = 0,571428 571428 571428…
42/17 = 2,4705882352941176 4705882352941176…
35/44 = 0,7954 54 54 54 54…

Alla fem exemplen ger dock en periodisk decimalutveckling (något som gäller för ALLA bråk). Decimalerna upprepar sig efter ett tag, och fortsätter på samma sätt i all oändlighet. Om man vill svara i decimalform, innebär det att man måste avrunda sitt svar. Eller måste man det?

Det finns ett alldeles utmärkt sätt att uttrycka periodiska decimalutvecklingar (utan att använda ”prick-prick-prick” på slutet), dock är detta sätt väldigt ovanligt i Sverige: Man ritar helt enkelt ett streck ovanför de decimaler som upprepar sig!

Visst vore det trevligt om vi kunde börja använda detta skrivsätt även i Sverige? För den som vill läsa mer, kan jag rekommendera denna sida på engelska Wikipedia.

Observera att ovanstående skrivsätt inte kan användas exempelvis för talet pi, eftersom den decimalutveckligen inte upprepar sig! Däremot fungerar den på alla bråk med heltal i täljare och nämnare!

Det är uppenbarligen inga större problem att omvandla ett bråktal till decimalform, det är bara att knappa in bråket på miniräknaren! Men hur gör man om man har ett decimaltal och vill omvandla det till bråkform?

Låt oss använda ett exempel från ovan, nämligen talet 0,7954 54 54 54…

Om de första decimalerna (i detta fall 7 och 9) inte är med i den periodiska decimalutvecklingen, så multiplicera talet med 10, 100, 1000, etc, så att de periodiska decimalerna kommer direkt efter decimaltecknet.

      x = 0,7954 54 54 54…
100x = 79,54 54 54 54…

Räkna nu antalet decimaler som upprepar sig (i vårt fall två stycken: 5 och 4). Om det bara är en decimal som upprepar sig (som i 0,33333…) så multiplicerar vi talet med 10. Om det är två upprepade decimaler så multiplicerar vi med 100. Är det 3 upprepade decimaler så multiplicerar vi med 1000, osv. Vårt tal skall alltså åter multipliceras med 100 (alltså har vi nu totalt multiplicerat med 100 x 100 = 10 000).

10 000x = 7 954,54 54 54 54…

Subtrahera nu de två ”senaste” talen med varandra:

Vi har alltså nu ekvationen 9900x = 7875, där x är vårt tal i decimalform som vi vill skriva i bråkform. Vi får:

Och efter förkortning fick vi alltså vårt svar i bråkform: x = 35/44  (vilket vi ju redan visste, men ändå…)

Och hur var det nu med 0,99999…?

Tja, om vi låter x = 0,99999… så har vi ju att 10x = 9,99999… Och därefter räknar vi ut differensen mellan 10x och x, vilket ju är samma sak som 9x:

10x – x = 9,99999… – 0,99999… = 9

Alltså 9x = 9, vilket ger x = 1!

Det kanske fortfarande finns någon som tvivlar på ovanstående? Varför inte ge ytterligare ett (ännu enklare) bevis för att 0,99999… = 1:

Mer om detta kan man läsa på denna sidan på engelska Wikipedia!